Фамилия Чагир — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычного русского суффикса -ов или -ин, а значит, перед нами не отчество, а прямое прозвище или заимствованное слово. Чаще всего фамилию связывают с тюркскими языками, где «чагыр» или «чагр» означает «крик», «зов», «шум» или даже «сокол» (в некоторых диалектах — «ястреб»). В этом случае прозвище Чагир могли дать громкому, крикливому человеку или, напротив, зоркому и быстрому, как хищная птица.

Вторая версия отсылает к тюркскому «чаг» — время, пора. Тогда Чагир — «ровесник», «сверстник» или «человек одного возраста». Такие прозвища давали для указания на дружбу или общность судьбы. Обе гипотезы правдоподобны, но первая — про звук или птицу — встречается в ономастике чаще, поскольку прозвища по внешним признакам и поведению были распространённее.

Модель образования фамилии — безсуффиксная. В русской традиции фамилии на -ир, -ур, -ар нередко фиксировали прозвище в чистом виде, особенно если оно пришло из другого языка. Чагир могло закрепиться за одним человеком, а затем перейти к его потомкам без изменений. Такое часто случалось в смешанных регионах — Поволжье, Приуралье, на Северном Кавказе, где русские фамилии соседствовали с тюркскими.

Среди носителей фамилии Чагир встречаются как русские, так и представители тюркских народов — татары, башкиры, чуваши. В ряде случаев фамилия могла возникнуть из этнонима: «чагиры» — название одного из тюркских родов или племён. В таком варианте она указывала на принадлежность к определённой родовой группе, а не на личное качество.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Чагрин, Чагров, Чагин — показывает, что основа «чаг-» в русском ономастиконе редка, но стабильна. Чаще всего она восходит именно к тюркским корням, а не к славянским. Поэтому, если ваши предки носили фамилию Чагир, с большой вероятностью они жили на стыке культур, где русский язык впитывал местные прозвища и названия.