Фамилия Дамакур — редкая для русского уха и явно нерусская по происхождению. Она не вписывается в привычные модели русских фамилий на -ов, -ев, -ин или -ский. Скорее всего, перед нами фамилия, пришедшая из французского языка или сформировавшаяся под его влиянием.

Самое прямое прочтение — топонимическое. Во Франции существует несколько мест с названием Damacourt (например, коммуна в департаменте Верхняя Сона). Такие фамилии часто давали человеку, который переехал из этой местности и стал «Дамакуром» — то есть выходцем из Дамакура. Русское окончание здесь не добавили, потому что фамилия либо пришла уже в готовом виде, либо её носитель был иностранцем, либо семья долго сохраняла исходное написание.

Есть и другая версия, менее очевидная, но не лишённая логики. В основе может лежать французское прозвище или имя. Первая часть «Damas» — это либо личное имя (от библейского Дамас, реже — от города Дамаск), либо указание на ткань (дамаст, узорчатый шёлк). Вторая часть «cour» — двор. В сумме это могло означать «двор (усадьба) Дамаса» или «дамасский двор». Однако как прозвище для человека такое сочетание маловероятно: обычно так называли владельца поместья, а не простого крестьянина.

На русской почве фамилия Дамакур могла появиться несколькими путями. Самый вероятный — через дворянство или интеллигенцию XIX века, когда в России было модно приглашать французских гувернёров, архитекторов и ремесленников. Некоторые из них оставались, женились, и их потомки уже носили фамилию как наследственную. Другой вариант — обрусевшие французы-гугеноты, бежавшие от религиозных преследований в XVIII веке, но их следы чаще встречаются в фамилиях на -ов (Дементьев от Деман, например).

Встречаемость фамилии в современных русских источниках крайне низкая. Это говорит о том, что род малочислен, а его носители, скорее всего, сосредоточены в крупных городах или за пределами России. Если ваши предки носили Дамакур, стоит искать французские корни по линии отца — либо в документах о дворянстве, либо в метриках иностранных общин Петербурга и Москвы.