Фамилия Дамзова — женская форма; мужская — Дамзов. Чтобы понять её происхождение, нужно отбросить стандартный русский суффикс -ов и посмотреть на корень. Основа здесь — «Дамз-», что сразу же выводит нас за пределы славянского именослова. В русском языке нет слова «дамза» или «дамз» с бытовым значением.

Скорее всего, фамилия имеет тюркские или кавказские корни. В тюркских языках, например в татарском или башкирском, существует слово «дамза» (или «дамса») в значении «капля», «пятно», «метка». Прозвище Дамза могли дать человеку с родимым пятном, веснушками или шрамом на видном месте. В осетинском языке есть близкое слово «дамз» — «нарост», «шишка», что тоже могло стать основой для прозвища по внешнему признаку.

Модель образования простая: тюркское или кавказское прозвище (или личное имя) Дамза + русский патронимический суффикс -ов. Это типичный случай, когда нерусская по происхождению основа «обрусела» после крещения предков или перехода на русскую фамильную систему в XIX веке. Фамилия редкая, её география, скорее всего, привязана к регионам смешанного проживания: Поволжье, Северный Кавказ, возможно, юг Урала.

Встречается также вариант написания через «с» — Дамсова, но Дамзова — более распространённая фиксация. Сословной принадлежности предков по одной фамилии не определить: прозвище по внешности мог получить и крестьянин, и служилый человек. Главное, что фамилия хранит память о конкретном признаке или прозвище, которое дали предку несколько веков назад.