Фамилия Дашенкова — женская форма фамилии Дашенков, а её основа — имя или прозвище Дашко. Чаще всего Дашко — это уменьшительная форма от канонического имени Даниил, которая была широко распространена в древнерусской среде. К этой основе добавился восточноукраинский суффикс -енко, который первоначально означал «маленький» или «сын». Таким образом, буквальное значение фамилии — «сын Дашка», а в более широком смысле — потомок человека по имени Дашко.

Однако существует и альтернативная, менее очевидная гипотеза, которая связывает фамилию Дашенкова не со славянским именем, а с тюркским прозвищем Дашек. Согласно этой версии, прозвище могло достаться предку из ордынской или половецкой среды. В тюркских языках слово, близкое к «Дашек», может означать «наводнение» или «прибавление воды», а в переносном смысле — «зазнайка», «чванливый человек». Есть и другие, ещё более редкие тюркские параллели: значение «мошонка» (встречается у алтайцев) или «дыра», «щель», «дырявый». Какая из этих версий верна для конкретного рода — сказать сложно, но фамилия явно несёт в себе следы либо русской народной традиции именования, либо контактов с восточными народами.

В исторических документах имя Дашко встречается с XV века. Например, в трудах историка С. Б. Веселовского упоминается Дмитрий Михайлович Дашко Смоленский (начало XV века), от которого пошли князья Дашковы. Также известны Калина и Дмитрий Дашковы — мелкие землевладельцы 1502 года из Переяславля, и Федор Иванович Бетюк Дашков (1549 год, Старица). Эти записи показывают, что прозвище Дашко бытовало в разных слоях общества — от князей до крестьян, а значит, и фамилия Дашенкова могла возникнуть в разных регионах и сословиях независимо друг от друга.