Фамилия Дажаев образована, по одной из версий, от имени Дажай, которое восходит к тюркскому слову «даж», то есть «камень». Вполне вероятно, что родители, нарекая своего ребенка таким именем, желали, чтобы он стал крепким, сильным, здоровым человеком. По другой версии, основой для данной фамилии послужило прозвище Дажай, которое ведет свое начало от слова «даж» в значении «скала». Возможно, что это прозвище отражало особенности места жительства предка – в горах. Таким образом, потомок человека, которого звали Дажай, со временем получил фамилию Дажаев. Представители фамилии Дажаев упоминаются в некоторых Памятных книгах. Так, например, в Книгу памяти Чеченской Республики внесены Дажаев Мота (р. 1930 г.), Дажаев Шамиль (р. 1902 г.) и Дажаев Янарий Шамилович (р. Безусловно, фамилия Дажаев представляет собой замечательный памятник кавказской культуры.