Фамилия Дажаевы образована от личного имени или прозвища Дажай. Самая убедительная версия связывает его с тюркским словом «даж» — «камень» или «скала». Имя с таким значением давали мальчикам, чтобы они росли крепкими, как камень, выносливыми и несгибаемыми. В этом смысле оно близко к русскому имени Кремень или тюркскому Таш, тоже означающему «камень».

По другой версии, прозвище Дажай указывало на место жительства предка — в скалистой, горной местности. Такая модель прозвищ по ландшафту типична для народов Кавказа, где фамилии часто отражали не род занятий, а особенность местности, с которой был связан род. Фамилия образована по стандартной для русской ономастики модели: к основе Дажай добавили суффикс -ев, который указывает на принадлежность: «сын Дажая» или «из рода Дажаевых».

Фамилия Дажаевы — яркий памятник кавказской культуры, закреплённый в документах. В Книге памяти Чеченской Республики упомянуты Дажаев Мота (р. 1930), Дажаев Шамиль (р. 1902) и Дажаев Янарий Шамилович. Эти записи подтверждают, что фамилия бытует на Северном Кавказе как минимум с конца XIX века.