Фамилия Дегярева — женская форма фамилии Дегярев, и её происхождение стоит разбирать через мужской вариант. Основа здесь — прозвище или профессиональное имя Дегярь, которое в русских говорах означало того, кто занимается дёгтем: либо смолокура, выгоняющего дёготь из бересты, либо торговца этим продуктом. Дёготь в крестьянском хозяйстве был ходовым товаром — им смазывали колёса, кожу, лечили лошадей, так что ремесло было востребованным и давало устойчивое прозвище.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ев присоединяется к основе на мягкий согласный (Дегярь → Дегярев). Фамилия образована по отчеству, то есть отвечала на вопрос «чей сын?» — сын Дегяря. Встречается и вариант написания с буквой «ё» — Дёгтев, Дёгтева, но форма через «я» (Дегярев, Дегярева) характерна для южнорусских и некоторых центральных говоров, где «ё» переходило в «я» под ударением.

Интересно, что фамилия не слишком распространена: она встречается в основном в Воронежской, Ростовской областях и на Кубани — регионах, где исторически было развито смолокурение и дёгтевое производство. В дореволюционных переписях носители фамилии числились преимущественно государственными крестьянами и однодворцами, то есть людьми, которые не были крепостными и могли заниматься промыслом.

Однокоренные фамилии — Дегтярёв, Дегтяренко, Дегтярский — все восходят к тому же ремеслу, но различаются суффиксами и ареалами. Дегтярёв — самая частая форма, а Дегярев — более редкий фонетический вариант, который закрепился в письменных документах именно в таком виде. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из семей смолокуров или мелких торговцев, живших в лесистой местности на юге России.