Фамилия Деляй — редкий случай, когда прозвище перешло в наследственное имя почти без изменений, сохранив глагольную форму повелительного наклонения. В основе лежит древнерусский глагол «делати» — делать, работать, трудиться. Прозвище Деляй могли дать человеку деятельному, расторопному, тому, кто не сидел сложа руки. В старину такие «говорящие» имена-команды встречались нечасто, но они точно характеризовали носителя: Слышко, Нечай, Жди, Помилуй — и Деляй в том же ряду.

Суффикса в привычном понимании (‑ов, ‑ин, ‑ский) фамилия не имеет. Она образована по так называемой «усечённой» модели: прозвище Деляй стало фамилией напрямую, без оформления притяжательным суффиксом. Это указывает на то, что закрепилась она, скорее всего, в среде, где фамилии складывались стихийно и поздно — среди крестьян, однодворцев или казачества. В дворянской среде такие бессуффиксные фамилии почти не встречаются.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским говорам, где форма «деляй» вместо «делай» — результат аканья и упрощения: «делать» произносили как «делять», отсюда и повелительное «деляй». Встречается в Курской, Воронежской, Ростовской областях, а также на Кубани. В центральных и северных регионах России она редка.

Интересно, что по той же модели образованы фамилии Гуляй, Стукай, Шагай, Копай. Все они — бывшие прозвища, которые давались не по роду занятий, а по характеру или привычке. Деляй, таким образом, — не ремесленная фамилия (не «сын плотника»), а характеризующая: «деятельный, работящий человек». В документах XVII–XVIII веков такие прозвища фиксировались как второе имя, но в фамилию перешли далеко не у всех.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель «глагол в повелительном наклонении» описана как одна из архаичных, характерная для восточнославянской ономастики, но без привязки к конкретному региону. Для фамилии Деляй это означает, что её носители — потомки людей, которых когда-то окликнули: «Эй, Деляй!» — и прозвище приросло на века.