Фамилия Деляев — редкий случай, когда происхождение можно вывести не из одного, а из двух совершенно разных корней, и оба звучат вполне убедидно. Чтобы не гадать, стоит посмотреть на суффикс и на исторический контекст.

По модели образования это типичная русская фамилия на -ев. Суффикс указывает на принадлежность: Деляев — сын Деляя. Значит, в основе лежит личное прозвище или неканоническое имя Дёляй (или Деляй). И вот тут начинается развилка.

Первая и самая прямая версия — от глагола «делить». В русских говорах «деляй» — это тот, кто делит, распределяет, возможно, судья или арбитр в спорах. В крестьянской общине дележ земли, урожая или наследства был делом ответственным, и человека с таким прозвищем могли уважать или, наоборот, недолюбливать за пристрастность. Фамилия могла закрепиться за тем, кто постоянно участвовал в переделах, или за человеком с въедливым, «разделяющим» характером.

Вторая версия менее очевидная, но исторически весомая. В старых документах встречается имя Дёля — краткая форма от православного имени Демьян (в просторечии Дементий). «Деляй» в этом случае — не прозвище, а обиходный вариант имени. Тогда фамилия Деляев означает «сын Дёли», то есть потомок Демьяна. Такая модель (усечение имени + суффикс -ай/-яй) типична для русских фамилий: вспомните Митяй (от Дмитрий) или Костяй (от Константин).

Географически фамилия редкая, но встречается в центральных областях России, особенно в старых переписях Рязанской и Тамбовской губерний. В дворянских родословных книгах Деляевы не числятся — это фамилия крестьянская или мещанская, что подтверждает бытовое, а не книжное происхождение.

Спор между версиями решается просто: если в семье помнят, что предка звали Демьян, верна вторая. Если нет — первая, с прозвищем «деляй», не менее правдоподобна. В любом случае, фамилия Деляев — не про безделье, а про действие: либо раздел имущества, либо сокращение имени.