Фамилия Дмириевский — редкий случай, когда написание само подсказывает, где искать корень. Сразу заметно: в ней нет привычного «т» после «Дми...», которое мы ожидаем в фамилиях от имени Дмитрий. Вместо Дмитриевский — Дмириевский. Это не опечатка, а живой след диалектного произношения или упрощения, которое закрепилось в документах.

Основа фамилии — крестильное имя Дмитрий (от греческого Деметриос, «посвящённый Деметре»). В русских говорах имя нередко произносили как «Дми́рий» или «Дми́рей»: звук «р» «съедал» следующий за ним «т», особенно в быстрой речи. От этой разговорной формы и образовали фамилию по модели «-ев- + -ский». Суффикс -ский указывает на дворянское или церковное происхождение: такую фамилию чаще получали выходцы из духовенства (семинаристы) или мелкопоместные дворяне, реже — переселенцы, которым давали фамилию по названию села или местечка.

Если бы фамилия была Дмитриевский, её носитель почти наверняка происходил бы из семьи, где отец или дед носил имя Дмитрий, или из села Дмитриевского. В случае с Дмириевским история та же, но с фонетической оговоркой. В ономастических справочниках такие варианты — Дмириевский, Дмиревский, Митриевский — фиксируют как региональные. Чаще всего они встречаются в южнорусских и украинских говорах, где «т» в сочетании «дм» выпадало особенно часто.

Есть и вторая, менее вероятная версия: связь с тюркским или кавказским корнем «Дмир» или «Демир» (железо). Но она слабая, потому что суффикс -евский в русском языке почти всегда прикрепляется к славянским именам и прозвищам, а не к иноязычным основам. Если бы фамилия была Демировский — другое дело, но написание с «и» после «Дм» твёрдо указывает на имя Дмитрий.

Сословно: скорее всего, предки Дмириевских — священники или дьячки. Именно в духовной среде в XVIII—XIX веках массово давали фамилии на -ский от имён святых (Дмитрий Солунский — один из самых почитаемых). Светские люди с такой фамилией — редкость, но не исключение: иногда её искусственно присваивали детям из сиротских училищ или солдатским сыновьям. Точных данных по географии нет, но если искать, стоит обратить внимание на архивы Курской, Воронежской и Полтавской губерний — там выпадение «т» в имени Дмитрий было повсеместным.