Фамилия Добощук — типичный пример украинской модели фамилий на -ук/-юк. Этот суффикс в украинской ономастике означает «малый», «потомок» или «ученик»: Добощук — сын или потомок человека по прозвищу Добош. Само прозвище Добош (или Добощ) восходит к румынскому или молдавскому слову dobos — «барабанщик», «литаврщик». В Молдавии и на Буковине так называли музыканта, который бил в барабан или литавры при дворе господаря, а также на народных празднествах.

Фамилия Добощук распространена главным образом в западных областях Украины — Черновицкой, Ивано-Франковской, Тернопольской, а также на юго-западе Винницкой. Это зона активного молдавского и румынского влияния, где слово добош вошло в украинские говоры. Встречаются варианты написания Добощук, Добощак, Добошук — все они образованы от одной основы.

Версия, что фамилия происходит от украинского добоша (нечто вроде «долбить» или «стучать»), менее убедительна: слово добош в украинских диалектах зафиксировано именно в значении «барабанщик», а суффикс -ук/-юк однозначно указывает на восточнославянскую (украинскую) патронимическую модель, а не на прямое заимствование. Таким образом, предок носителя фамилии Добощук с высокой вероятностью был либо профессиональным барабанщиком, либо получил это прозвище за громкий голос, шумный характер или манеру ходить вразвалку, напоминающую ритм барабана.

Сословная принадлежность таких фамилий, как правило, крестьянская или казацкая. В реестрах Войска Запорожского XVII века прозвище Добош не встречается, что косвенно указывает на более позднее, преимущественно крестьянское происхождение фамилии, сложившейся уже после исчезновения Речи Посполитой. В метрических книгах XIX века Добощуки фиксируются как православные или греко-католические крестьяне в селах нынешней Черновицкой области.

Однокоренные фамилии — Добош, Добоша, Добошан — встречаются у румын, молдаван и венгров (венгерское dobos — «барабанщик»). В русском языке фамилия Добощук сохраняет ударение на последнем слоге, как и в украинском оригинале.