Фамилия Досабаев восходит к личному имени Досабай. Его основа — сложение двух слов: казахского «дос» («друг, товарищ, возлюбленный, близкий человек») и древнетюркского «бай» («хозяин, богатый человек, господин»). В сумме имя Досабай означает «дорогой хозяин» или «богатый друг». Такие составные имена были распространены у тюркских народов: вторая часть указывала на статус или пожелание благополучия, а первая — на личное качество или отношение.

Фамилия образована по русской модели с суффиксом -ев, который добавляется к основе, оканчивающейся на согласный или -й (в данном случае Досабай → Досабаев). Это типичный способ русификации тюркских фамилий в XIX–XX веках. По сути, Досабаев — «потомок Досабая».

В документах встречаются ранние носители фамилии: Баймурат Досабаев (1898 год рождения, уроженец Ур.Копе Аксуского района Алматинской области) и Вахит Альменович Досабаев (1898 год рождения, из Ермака Павлодарского района Восточно-Казахстанской области). Оба родились в один год, но в разных регионах Казахстана, что говорит о довольно широком бытовании фамилии уже в конце XIX века.

Интересно, что имя Досабай встречается и у других тюркских народов, но фамилия Досабаев — преимущественно казахская. Встречаются варианты написания (например, Досабай ударением на последний слог), но они не меняют смысла. Редкий суффикс -абай в основе указывает на то, что имя образовано не от арабского или персидского корня, а от тюркского «дос» — это отличает её от фамилий с основой «дос» в значении «верный» (как в арабском).