Фамилия Достибекян — армянская, и её разговор стоит начать не с корня, а с суффикса. Окончание -ян (в старой орфографии -янц) — самый распространённый патронимический формант в армянских фамилиях. Он означает «принадлежащий к роду» или «потомок». То есть Достибекян — это «потомок Достибека». Вопрос в том, что скрывается за основой «Достибек».

Здесь открывается поле для лингвистической догадки. В армянском языке нет слова «дости» с очевидным значением. Скорее всего, перед нами сложная основа, где первая часть — тюркская или персидская. В тюркских языках «дост» (или «дуст») означает «друг», «товарищ». Вторая часть — «бек» — тюркский титул, обозначающий князя, господина или военачальника. Таким образом, «Достибек» — это составное имя или прозвище, которое можно перевести как «друг-бек» или «бек-друг». Скорее всего, так называли человека, который был близким соратником, доверенным лицом какого-либо бека, либо же это было имя, данное в честь дружбы двух родов.

С точки зрения словообразовательной модели, фамилия Достибекян — типичный пример армянской фамилии, образованной от тюркского прозвища или имени. Это не редкость для армянских фамилий: многие из них вобрали в себя тюркские и персидские элементы, особенно в регионах, где армяне веками жили в соседстве с тюркским населением (Восточная Армения, Карабах, Нахичевань, Зангезур). Географически фамилия наиболее характерна для армян, чьи корни уходят в эти области.

В сословном отношении носители такой фамилии, скорее всего, не принадлежали к высшей аристократии (меликам), но могли быть из слоя свободных общинников или мелких землевладельцев, имевших связи с местной знатью. Сам титул «бек» в составе фамилии не обязательно указывал на реальный аристократический статус предка — часто он становился частью имени или прозвища, которое давали за уважение или характер.

Итак, главный вывод: Достибекян — это «потомок Достибека», где «Достибек» — составное имя тюркского происхождения, означающее «друг-бек». Фамилия говорит о том, что предок носителя был человеком, носившим такое прозвище, и она прочно закрепилась в армянской ономастике, отражая многовековое культурное взаимодействие народов Закавказья.