Фамилия Достиев, скорее всего, тюркского происхождения, и её разумнее всего разбирать не с корня, а с модели образования. Типичный патронимический суффикс -ев указывает на происхождение от отца: «сын Достия» или «внук Достия». Сама основа — личное имя или прозвище Дости.

В тюркских языках (особенно в казахском, татарском, башкирском, кумыкском) слово «дост» или «дуст» означает «друг», «приятель», «товарищ». Имя Дости, таким образом, — это «дружок», «друг». Такие имена давали не столько по характеру, сколько в качестве пожелания или оберега: чтобы человек жил в ладу с людьми, имел много друзей, или же просто как ласковое обращение к ребёнку.

Вероятно, предок носителя фамилии Достиев получил имя Дости в быту, а при оформлении официальных документов (в XIX — начале XX века, когда у крестьян и кочевников массово закреплялись фамилии) запись пошла по отцу: «Достиев» — то есть из рода Дости. Географически фамилия встречается среди народов Северного Кавказа (кумыки, ногайцы), а также у татар и казахов. В русской среде она редка и, скорее всего, пришла через смешанные браки или миграцию.

Интересная деталь: в отличие от фамилий с суффиксом -ов, где ударение часто падает на окончание, в фамилии Достиев ударение обычно стоит на втором слоге — ДостИев. Это сохраняет ритмику исходного имени Дости и выдаёт нерусскую природу основы. Если бы фамилия была образована от русского слова «достигать» (что маловероятно), ударение, скорее всего, сместилось бы на первый слог — Достиев, как в фамилии Достигалов, но такой версии нет ни в одном серьёзном ономастическом источнике.

Таким образом, фамилия Достиев — это прямая отсылка к прозвищу или имени предка, которого в его окружении называли Другом. Никакой тайны, но хорошее, тёплое значение: человек из рода Друзей.