Фамилия Достиева — женская форма, мужская — Достиев. Её основа — имя или прозвище Дости. Сама фамилия строится по стандартной русской модели: к основе на -ий (в данном случае — Достий) прибавляется суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Достиев сын). Но почему основа звучит как Дости, а не Достий? В разговорной речи и в документах конечный -ий часто отпадал, особенно если имя было редким или иноязычным. Поэтому Дости — это усечённый вариант личного имени Достий.

Корень «дост-» прозрачен: он восходит к тюркскому «дост» или «дуст» — «друг», «приятель». В языках народов Кавказа, Поволжья и Средней Азии это слово широко распространено. Имя Достий (или Дост) могло быть как самостоятельным, так и уменьшительным от более длинных имён вроде Достали, Достмухаммед. Соответственно, предок носителя фамилии мог быть либо человеком, которого прозвали Другом за дружелюбный нрав, либо получить имя-пожелание, чтобы он рос верным и надёжным товарищем.

Географически фамилия Достиев/Достиева тяготеет к Северному Кавказу, особенно к Ингушетии и Чечне. В этих республиках суффикс -ев — один из главных способов образования фамилий, и тюркская основа «дост» не редкость из-за многовековых контактов с соседними народами. Встречается фамилия и у осетин, и у народов Дагестана, но с меньшей частотой.

Интересная деталь: в осетинском языке есть слово «дост» — «друг», но фамилия могла возникнуть и из другого корня. У осетин существовало мужское имя Дости, которое, по некоторым версиям, восходит к арабскому «даст» (рука) или имеет местное, исконное происхождение. Но тюркская версия — основная и самая распространённая в ономастике.

Сословной принадлежности у фамилии нет: Достиевы — это не дворянский род, а обычные горцы, земледельцы или воины. Фамилия не древняя в смысле письменной фиксации (массово записывали фамилии на Кавказе в XIX веке), но само прозвище уходит корнями вглубь веков.