Фамилия Доступов образована от прозвища Доступ, которое, в свою очередь, восходит к аналогичному нарицательному. Прозвище может указывать на то, что его владелец – это человек, имеющий доступ к чему-либо; тот, кто может входить свободно. По этой версии, прозвище Доступ указывает на привилегированное положение основателя рода. Согласно другой гипотезе, прозвище Доступ восходит к глаголу «доступать», то есть «что-то добывать, чего-то усиленно добиваться, хотеть взять: полонить, завладеть». В таком случае прозвище отражает черты характера предка (настойчивость, упорство). Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Доступ, со временем получил фамилию Доступов.