Фамилия Достур — редкая и неочевидная для русского уха. С первого взгляда она кажется искусственной или заимствованной, но при ближайшем разборе вскрывается её вероятная связь с тюркскими языками и историей южных регионов России.

Словообразовательная модель здесь нестандартна. В фамилии нет типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. Окончание -ур встречается в тюркских именах и прозвищах (например, Батур, Тимур). Основа «Дост» — это прямое заимствование из тюркских языков, где «дост» означает «друг», «приятель», «товарищ». В персидском, который сильно повлиял на тюркскую лексику, «дуст» имеет то же значение. Таким образом, фамилия Достур могла образоваться от прозвища Достур, которое давали человеку общительному, верному или тому, кого называли «другом» в переносном смысле.

Вероятнее всего, фамилия сложилась в среде тюркоязычных народов (татары, башкиры, казахи, ногайцы) или у русских, долго живших в смешанных регионах — в Поволжье, на Урале, в Приуралье или на Северном Кавказе. Встречаются варианты написания с одной «с» (Достру) или с конечным «а» (Достура), что указывает на колебания при адаптации в русской документации.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: Достур — это искажённая форма фамилии Достоваров или Достуров, где основа восходит к имени Достур, которое могло быть образовано от арабского «дустур» (разрешение, позволение, обычай). Однако эта гипотеза слабее, так как в тюркской антропонимии прозвища со значением «друг» встречаются часто, а отвлечённые понятия в личные имена переходят редко.

Социальный контекст фамилии Достур — это, скорее всего, крестьянская или казачья среда. Никаких сведений о дворянских родах с такой фамилией нет. В современных базах данных носители фамилии Достур встречаются единично, в основном на юге России и в Казахстане. Это говорит о том, что фамилия не растеряла свою этническую привязку и не стала массовой.