Фамилия Дрегункова — женская форма фамилии Дрегунков, а та в свою очередь образована от прозвища или нецерковного имени Дрегунок. Основа здесь — «дрегун», и это не опечатка: в русских говорах, особенно в южных и западных регионах, слово «дрегун» означало то же, что и «драгун» — кавалериста, обученного действовать как в конном, так и в пешем строю. В народном произношении «драгун» легко превращалось в «дрегун» через замену гласного, что фиксируется в диалектных словарях.

Модель образования типична для русских фамилий: основа на твёрдый согласный (Дрегунок) плюс суффикс -ов, дающий фамилию Дрегунков. Суффикс -ок в прозвище мог указывать на молодого или невысокого драгуна, либо на уменьшительно-ласкательное отношение к носителю прозвища. Встречается и вариант Драгунов — он распространён шире, но Дрегунков (и Дрегункова) сохранил именно диалектное произношение, что делает фамилию ценной для историков языка.

Прозвище Дрегунок мог получить как отставной солдат, так и человек, чем-то напоминавший драгуна — например, высокий ростом, носивший усы или имевший военную выправку. Не исключено, что в некоторых случаях фамилия возникла от названия населённого пункта вроде Дрегуново или Дрегунка — такие топонимы встречаются в центральной России, но их связь с военным термином та же.

Географически фамилия Дрегункова тяготеет к южнорусским областям — Курской, Воронежской, Ростовской, где диалектное «дрегун» было в ходу. Встречается она нечасто, что объяснимо: в советское время многие носители меняли фамилию на более привычный вариант Драгунов, считая написание через «е» ошибкой. Однако именно этот редкий вариант сохранил живую народную речь XVII–XVIII веков, когда драгунские полки были распространены по всей России, а их названия переходили в прозвища крестьян и посадских людей.

Таким образом, фамилия Дрегункова — не про «драконов» и не про «дрожание», как иногда думают, а про военную службу и диалектное произношение. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, среди них был либо солдат-драгун, либо человек, получивший такое прозвище за сходство с кавалеристом.