Фамилия Дрезова — женская форма, а её мужской вариант — Дрезов. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Дрез, и здесь начинается самое интересное: корень неоднозначен, и у фамилии как минимум две версии происхождения, причём обе ведут в разные социальные слои.

Первая и самая вероятная версия связывает фамилию с диалектным словом «дрезга» или «дрязга» — так в северных и сибирских говорах называли мелкий дождь, изморось, слякоть, а также ссору, перебранку. Человек по прозвищу Дрезга мог получить его за ворчливый характер или, наоборот, за привычку ходить хмурым, «как мокрый день». Со временем прозвище сократилось до Дрез, а фамилия Дрезов (Дрезова) закрепилась за его потомками. Суффикс -ов указывает на типичную для XVII–XIX веков модель: «чей?» — «Дрезов сын», то есть сын Дреза.

Вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование, — связь с глаголом «дрезать» (реже «дрязать»), который в некоторых говорах означал «дёргать», «теребить», «чесать». Прозвище Дрез могли дать непоседливому, суетливому человеку или, напротив, тому, кто занимался трепанием льна или шерсти — ручным ремеслом, распространённым в крестьянском быту.

Географически фамилия Дрезова (и Дрезов) встречается в основном в центральных и северных областях России — в Вологодской, Архангельской, Костромской, а также на Урале. Это говорит о том, что предки носителей фамилии были скорее всего государственными или помещичьими крестьянами, а не дворянами: фамилии на -ов у крестьян массово закрепились лишь после отмены крепостного права в 1861 году, хотя отдельные случаи фиксации встречаются и раньше.

Интересно, что фамилия Дрезова стоит в ряду таких же «погодных» фамилий, как Дождев, Ветров, Туманцев, Морозов, — но с той разницей, что её основа ушла из литературного языка и сохранилась только в говорах. Для этимолога это ценный след: по фамилии можно восстановить слово, которое почти забыто.