Фамилия Дробяга — редкий случай, когда прозвище застыло почти без изменений, без стандартных фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский. Основа здесь — «дробяга», и это яркая примета южнорусских и украинских говоров, где суффикс -яга активно использовался для образования имён и прозвищ (сравните: бродяга, гуляга, работяга).

Слово «дробяга» в диалектах означало человека, который занимается дроблением, толчением чего-либо. Чаще всего речь шла о ремесле: дробягой называли того, кто дробил руду на небольших куски для дальнейшей плавки, или толок зерно в ступе, превращая его в крупу. В металлургических районах (например, на Урале или в Туле) такое прозвище мог получить рабочий на рудодробильной мельнице. В крестьянском быту дробягой могли окрестить мельника или просто сильного мужчину, занятого тяжелой работой по измельчению.

Версия о связи с дробовиком (ружьём) менее вероятна: слово «дробовик» появилось позже и используется в иной словообразовательной модели. А вот отглагольное происхождение от «дробить» — прямое и прозрачное. Фамилия фиксируется преимущественно на территории современной Украины и в южных областях России, что подтверждает её диалектную природу.

Интересно, что при переносе в официальные документы фамилия сохранила ударение на второй слог — Дробя́га, хотя в некоторых говорах могли произносить и Дро́бяга. Разница в ударении не меняет сути: перед нами прозвище по занятию, которое закрепилось за родом как наследственное имя. В XIX веке носители фамилии встречались среди государственных крестьян и мещан, но не в дворянских родах — слишком «простое», ремесленное начало.