Фамилия Дроджина — женская форма, а её мужской вариант — Дроджин. В основе лежит прозвище или мирское имя Дроджа. Слово «дроджа» в русских говорах не зафиксировано в значении, которое сразу бросается в глаза, но его корень прослеживается в диалектном глаголе «дроджать» — то есть дрожать, трястись, зябнуть. Вероятно, прозвище Дроджа давали человеку зябкому, мерзлявому или суетливому, постоянно находящемуся в движении от холода или нервного напряжения.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Дроджин — «сын Дроджи» или «человек из семьи Дроджи». Модель типична для северных и центральных регионов России, где -ин чаще, чем -ов, образовывал фамилии от прозвищ на -а/-я. Если бы фамилия была южнорусской, скорее бы появился вариант Дродженко или Дроджов.

Встречается также версия, что Дроджа — это искажённое «Дрожжа» от слова «дрожжи», но это менее правдоподобно: прозвища от продуктов встречаются реже, и фонетика не совпадает — в «дрожжах» слышится долгое ж, а не дж. В некоторых говорах «дроджа» могло означать «дрожь» или «тряска», что возвращает нас к первоначальной версии.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в центральных областях России, а также в среде старообрядцев — у них нередко сохранялись прозвища, не вошедшие в общерусский обиход. Сословного барьера у Дроджиных не было: прозвище могло закрепиться и за крестьянином, и за мещанином, и за священником — всё решала местная традиция.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в деревне, где прозвище Дроджа дали первому носителю за его манеру ёжиться или постоянно мелко дрожать — от холода, страха или торопливости. Со временем прозвище забылось, а фамилия осталась.