Фамилия Другоченко — украинская по происхождению, что выдает характерный суффикс -енко. В XVI–XVII веках этот суффикс в Поднепровье и на Слобожанщине выполнял роль отчества: Другоченко буквально означал «сын Другака» или «потомок Другака». То есть в основе фамилии лежит личное прозвище Другак, от которого с помощью фамильного форманта образовалось родовое имя.

Что значило само прозвище — вопрос неоднозначный. Самая прямая версия: Другак — это «другой», то есть следующий по счету ребенок в семье. В русских и украинских семьях, где детей было много, старшего сына могли звать Перваком или Первуном, второго — Втораком, а третьего или последующего — Другаком. Такая система именования хорошо известна по древним актам и переписным книгам.

Но есть и вторая, менее очевидная версия, связанная с диалектной лексикой. В донских говорах «другак» — это настой воды на виноградных выжимках, то есть легкое вино или напиток, который делали после основного отжима. В орловских говорах тем же словом называли второй сбор хлебных зерен — то, что собирали после основного урожая, нередко колоски, оставшиеся в поле. Если предок получил прозвище по этому значению, он мог заниматься виноделием или быть крестьянином, который подбирал остатки урожая. Впрочем, обе эти версии упираются в одну трудность: прозвище Другак фиксируется в основном у восточных славян, и его «профессиональное» толкование менее распространено, чем счетное.

Интересно, что фамилия Другоченко — довольно редкая. Она встречается в основном на востоке Украины, в частности в Сумской и Харьковской областях, а также среди потомков переселенцев на Кубани. Это косвенно подтверждает связь с донскими говорами или слобожанской традицией именования. Суффикс -енко в этой фамилии стоит в полной форме, без усечения, что типично для украинских фамилий XVII–XVIII веков, когда прозвище еще не успело сократиться.

В целом, наиболее вероятно, что предок носителя фамилии Другоченко был младшим сыном в семье — «другим» по порядку рождения. Прозвище закрепилось за ним, перешло к детям и со временем превратилось в наследственную фамилию.