Фамилия Друговы (в мужском роде — Другов) образована от личного прозвища и относится к распространённому типу русских фамилий. Основа здесь — слово «друг», но у этого прозвища могло быть два совершенно разных значения.

Первая и самая очевидная версия: прозвище Друг давали человеку, который проявил себя как верный товарищ. Именно в этом значении прозвище закрепилось в мирском имени Дружина, которое было зафиксировано в XVI–XVII веках. Второе значение ведёт к слову «другой» — «следующий за первым, второй». Так нередко называли второго ребёнка в семье, и это не прозвище, а скорее порядковое имя, которое давали, чтобы различать детей.

В «Ономастиконе» академика С.Б. Веселовского есть несколько упоминаний: Друг Воинович Ильин, 1599 год, Кашира; Друган — князь Дмитрий Михайлович Приимков-Ростовский, 1571 год; Емельян Михайлов Друган, холоп, 1603 год, Новгород. Отдельно стоит обратить внимание на запись: Другов Лука Фацаров, земский дьячок, 1598 год, Соль Галицкая. Это прямое указание на то, что фамилия уже бытовала в конце XVI века на севере Руси, в среде служилых людей и духовенства.

Суффикс -ов в фамилии Другов — стандартный патронимический, указывающий на принадлежность: «чей?» — Другов, то есть сын или потомок человека по прозвищу Друг. Модель образования типична для большинства русских фамилий, но основа здесь нецерковная, что говорит о её народном, а не календарном происхождении.

О точном месте и времени возникновения фамилии Друговы в целом говорить сложно, ведь процесс формирования фамилий был длительным и шёл в разных регионах независимо. Однако наличие записи 1598 года из Соли Галицкой (территория современной Костромской области) позволяет предположить, что корни фамилии уходят в северо-восточные земли Руси. В любом случае, потомок человека, которого звали Друг или Другой, со временем получил фамилию Другов — и она сохранилась как памятник русской бытовой ономастики.