Фамилия Друговская — женская форма от Друговский. В её основе лежит либо древнерусское мирское имя Друг, либо прозвище Друг, и обе версии имеют разную смысловую окраску.

Если исходить из имени, то здесь связь со словом «дружина»: в древности оно означало не только военный отряд, но и друга, товарища. Имя Друг давали мальчикам как пожелание — чтобы рос дружелюбным, общительным, ласковым. Это типичная для дохристианской Руси модель, когда ребёнка нарекали не церковным, а «обережным» именем.

Вторая версия отталкивается от прилагательного «другой». Прозвище Друг могли дать чужаку, иноземцу или вообще пришлому человеку — тому, кто был «не свой», «иной». В этом случае фамилия указывает не на характер, а на происхождение или социальный статус предка-переселенца.

Фамилия образована по стандартной модели с суффиксом -ск-, который в восточнославянской традиции чаще встречался у дворянства и духовенства, но мог закрепляться и за простыми людьми, особенно если предок был выходцем из местности с названием вроде Другово или Друговка.

В исторических источниках встречаются родственные имена и прозвища: Друг Воинович Ильин (1599 г., Кашира), Друган — князь Дмитрий Михайлович Приимков-Ростовский (1571 г.), а также Другов Лука Фацаров, земский дьячок из Соли Галицкой (1598 г.). Эти примеры показывают, что корень «друг» бытовал в разных социальных слоях — от князей до дьячков.

Таким образом, фамилия Друговская может рассказывать либо о дружелюбном предке, либо о предке-чужеземце, но в любом случае её появление связано с личным именем или прозвищем, а не с географическим названием, что для фамилий на -ский встречается реже.