Имя Друщ, вероятно, представляет собой усечённую форму имени Андрущ — белорусского и украинского варианта имени Андрей, которое в переводе с древнегреческого означает «мужественный». Фамильный суффикс -иц также указывает на белорусско-украинское происхождение фамилии Друщиц. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Друщ, со временем получил фамилию Друщиц.