Фамилия Дрязжина — женская форма фамилии Дрязжин, а та, в свою очередь, образована от прозвища Дрязга. Основа здесь — диалектное слово «дрязга», которое в русских говорах имело два основных значения. Первое — это «ссора, перебранка, мелочная вражда», то есть так могли прозвать сварливого, вздорного человека, любителя покричать и поскандалить. Второе, более редкое и локальное, — «мелкий лес, кустарник, хворост» или «топкое место, поросшее кустарником». В этом случае прозвище могли дать человеку, который жил в глухой, заросшей местности, либо тому, кто занимался заготовкой хвороста.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Дрязжин — это «сын Дрязги» или «человек из семьи Дрязги». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я. Встречается фамилия преимущественно в центральных и северных регионах России, где слово «дрязга» было в ходу. В словаре русских фамилий Б. Унбегауна подобные образования рассматриваются как типичные для прозвищной ономастики.

Интересно, что фамилия Дрязжин — не единственная в этом гнезде. Существуют однокоренные Дрязгов, Дрязгин, а также более редкие Дрязгунов и Дрязгалов. Все они восходят к одному корню, но различаются суффиксами, которые могли указывать на разные региональные варианты прозвища или на разные формы его бытования. Дрязжина — одна из самых распространённых среди них, что может говорить о том, что прозвище Дрязга было нередким.

В дореволюционной России фамилия не принадлежала к дворянским или купеческим родам. Скорее всего, носители были крестьянами или мещанами. Точных данных о сословной принадлежности конкретных ветвей нет, но диалектный характер основы указывает на народное, не книжное происхождение.