Фамилия Дзагани — редкая и неочевидная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не славянское, искать в ней суффикс -ов или -ин бессмысленно. Скорее всего, перед нами фамилия, корни которой уходят в горские языки Кавказа, прежде всего в осетинский.

Основа фамилии — «Дзага» или «Дзаг». В осетинском языке слово «дзаг» (dzag) означает «наполненный», «полный», «целый». В переносном смысле так могли назвать человека полного, дородного, либо — что вероятнее — состоятельного, «полного» достатка. Суффикс -ани (или -он) в осетинских фамилиях — типичный патронимический показатель, указывающий на принадлежность к роду. То есть Дзагани — это «из рода Дзага», «потомок Дзага». Модель образования та же, что и в фамилиях Гаглоев (от Гаглой), Джиоев (от Джио) и многих других, где -ев/-ов — это уже русифицированная форма, а исконное осетинское окончание — -ты/-ти или -ани.

В осетинской среде фамилия Дзагани известна, хотя и не относится к самым массовым. Носители встречаются как в Северной Осетии, так и в Южной. Географически можно предположить связь с селом Дзага или урочищем с похожим названием, что было бы типично для горских фамилий, образованных от топонима. Однако более надёжной выглядит версия с прозвищем: прародитель рода мог получить имя Дзага за свою полноту или богатство, и это имя закрепилось за его потомками.

В русском языке фамилия не склоняется по падежам, если принадлежит мужчине (пришёл к Дзагани, книга Дзагани), и склоняется, если речь о женщине (нет Дзагани, говорю с Дзаганей). Ударение, скорее всего, падает на последний слог — ДзаганИ, что характерно для многих заимствованных фамилий.

Никакой связи с грузинским суффиксом -дзе или -швили здесь нет, хотя внешнее сходство могло бы натолкнуть на такую мысль. Это чисто осетинская фамильная модель, и её носители — потомки человека, которого в своё время назвали «полным» или «цельным».