Фамилия Дзержановская — женская форма от Дзержановский, а та, в свою очередь, образована от польского топонима. Основа фамилии — название населённого пункта вроде Дзержаново или Дзержанув. Таких мест в Польше и на западе современной Беларуси несколько, и все они восходят к слову «dzierżawa» — аренда, владение на правах аренды. Человек, получивший фамилию Дзержановский, скорее всего, был либо выходцем из такого села, либо владел землёй на условиях аренды.

Суффикс «-ский» (польск. -ski) в этой фамилии — классический признак шляхетского происхождения. В Речи Посполитой фамилии на «-ский» и «-цкий» носили в основном дворяне, указывая на родовое поместье. Однако после разделов Польши и массового переселения крестьян в XIX веке такие фамилии перестали быть исключительно дворянскими: их могли давать и простым людям по месту жительства.

Интересная деталь: написание через «е» (Дзержановская) — это русифицированная или белорусская версия. В оригинале фамилия звучала бы как Dzierżanowska — с характерным польским «ж» (rz) и носовым «ą». В русских документах, особенно после 1860-х годов, польские фамилии часто записывали на слух, теряя мягкость и носовые гласные. Поэтому Дзержановская — это не «испорченный» вариант, а адаптация к кириллической графике.

Сравните с однокоренными фамилиями: Дзержинский — от Дзержиново, Дзержанович — от того же корня, но с другим суффиксом (отчество или прозвище). Дзержановская стоит ближе к географическому типу: она указывает не на отца, а на место, с которым человек был связан.

Если ваши предки носили эту фамилию до революции, скорее всего, они жили на территории бывшего Великого княжества Литовского — в современной Западной Беларуси, Восточной Польше или на Волыни. Сословно это могли быть как мелкопоместная шляхта, так и крестьяне, получившие фамилию по названию деревни, в которой жили. Точнее сказать без генеалогического исследования сложно — фамилия распространена, но не массовая.