Фамилия Джыга — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, но не даёт очевидной подсказки о происхождении. В ней нет ни одного из привычных русских фамильных суффиксов (-ов, -ин, -ский), а сама основа звучит нехарактерно для восточнославянской ономастики. Это сразу указывает на иноязычный корень.

Скорее всего, перед нами фамилия украинского или белорусского происхождения, записанная на слух. В этих языках буквосочетание «дж» передаёт звонкий звук, похожий на английский j. Основа «джыг» — это фонетический вариант слова «джиг» или «джига». В украинских говорах «джига» означало волчок, юлу, а в переносном смысле — непоседу, вертлявого, суетливого человека. Такие прозвища по характеру или поведению давали очень часто, и они легко переходили в фамилии без дополнительных суффиксов (так называемые «усечённые» формы).

Вторая версия, менее вероятная, но возможная в пограничных регионах, — связь с польским словом dżyga (от англ. jig), обозначающим пляску или быстрый танец. В таком случае прозвище Джыга мог получить лихой плясун или музыкант. Однако для бытовой ономастики более типично прозвище по черте характера, чем по умению танцевать.

По модели образования фамилия Джыга стоит в одном ряду с украинскими фамилиями Нечоса, Халява, Трясило, которые тоже застыли в форме прозвища без суффикса принадлежности. Географически такая фамилия наиболее вероятна для запада Украины — Волыни, Галичины, а также для юга Беларуси, где сильны украинские диалектные влияния. В России она встречается редко и обычно как следствие миграции.

Таким образом, предок носителя фамилии Джыга, скорее всего, получил прозвище за беспокойный, живой нрав — его называли «джыгою», то есть волчком или егозой. Фамилия сохранила это прозвище в почти неизменном виде, без позднейших русификаций.