Фамилия Еликашвили — яркий пример грузинской модели образования фамилий, а именно её восточной (картлийско-кахетинской) ветви. Суффикс -швили в переводе с грузинского означает «дитя» или «сын», и такие фамилии исторически были самыми массовыми в Восточной Грузии, особенно среди крестьян и ремесленников. Если фамилия оканчивается на -швили, это почти всегда указывает на происхождение из этого региона, в отличие от западногрузинских фамилий на -дзе или -иа.

Основа фамилии — Елика — представляет собой грузинскую форму имени. Скорее всего, это вариант библейского имени Илья (груз. Илиа), адаптированный в народной речи. В грузинском языке имя Илья часто звучало как «Елиа», а уменьшительно-ласкательная форма с суффиксом -ка дала «Елика». Таким образом, фамилия буквально означает «сын Елики», то есть потомок человека по имени Илья. В пользу этой версии говорит и то, что в Грузии распространены фамилии с аналогичной структурой: Гигашвили (от имени Гига), Важашвили (от имени Важа).

Менее вероятная, но возможная версия связывает основу с тюркским словом «елик» (дикий козёл, серна) — в таком случае фамилия могла быть прозвищем, данным ловкому или быстрому человеку. Однако для грузинской ономастики типичнее именно антропонимическое происхождение от крестильного имени, а не от зоонима.

Фамилия Еликашвили не относится к числу княжеских или дворянских (те чаще имели суффикс -дзе или -ули/-ури). Она бытовала в среде простого сельского населения, что подтверждается её географией: носители фамилии традиционно проживают в регионе Кахетия, особенно в окрестностях Телави и Сигнахи. Встречается она и среди грузинских евреев, но в этом случае фамилия была усвоена уже в XIX веке по той же модели, что и у окружающего грузинского населения.