Фамилия Ёмкин — редкий случай, когда написание с буквой «ё» принципиально. Если бы фамилию записывали через «е», она бы читалась иначе — и могла бы относиться к другому корню. Поэтому ударение здесь строгое: на первый слог, Ёмкин.

Словообразовательная модель прозрачна: суффикс -ин указывает на принадлежность. Фамилия образована от прозвища или имени Ёмка. В русской ономастике суффикс -к- в основе часто даёт уменьшительно-ласкательную или обиходную форму: Ёмка — это кто-то, кого так называли в быту. Отсюда и Ёмкин — «чей?» — «сын Ёмки» или «человек из семьи Ёмки».

Сам корень «ём» — спорный. Самая прямая версия: от глагола «иметь» в древнерусском звучании «яти», «иму», «ёмлю». Ёмка — человек, который «ёмлет», то есть берёт, хватает, собирает. В говорах «ёмкий» означало «вместительный», «способный много взять», а «ёмко» — «обильно», «много». Прозвище Ёмка могли дать либо запасливому хозяину, либо, наоборот, тому, кто любил прихватывать чужое. Вторая версия — от слова «ём» как диалектного названия ямы, углубления (сравните с «яма» и «ём» в значении «вместилище»). Тогда Ёмка — житель низины или человек, живший у оврага. Третья, менее вероятная: от тюркского «ем» — «лекарство», «корм», но для русской фамилии это экзотично.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России, где сохранялось «ёкающее» произношение. В документах XVIII–XIX веков встречаются крестьяне и мещане с фамилией Ёмкины в Вятской, Костромской и Вологодской губерниях. Дворянской ветви не зафиксировано — это фамилия простых сословий, скорее всего, крестьянского или посадского происхождения.

Родственные фамилии: Ёмов, Ёмочкин, Емцов (хотя там основа могла быть от «Емец»). Но именно Ёмкин стоит особняком из-за ударения и буквы «ё» — её часто теряли при записи, и в старых метриках фамилию могли писать как «Емкин», что путает следы. Если ваши предки Ёмкины, стоит проверять документы именно с буквой «ё» — это ключ к их происхождению.