Фамилия Финащенкова — женская форма от Финащенков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Финащ(а) с помощью патронимического суффикса -енков. Этот суффикс характерен для южнорусских и украинских земель (особенно для бывшей Слобожанщины и Дона), где -енко превращалось в -енков при русификации фамилий в документах. То есть перед нами не «чисто русская» фамилия на -ов, а гибридная форма, указывающая на украинские корни предков.

Основа Финащ- — это, скорее всего, производное от канонического имени Афиноген (греч. «рожденный от Афины»). В народной речи это имя давало множество сокращений: Фина, Феня, Гена, а форма Финащ могла возникнуть через добавление суффикса -ащ- (как в именах Тимоша от Тимофей, Ваняша от Иван). Такой суффикс придавал прозвищу оттенок ласкательности или, наоборот, шутливой грубоватости. Менее вероятна связь с греческим именем Финас (вариант Афанасия), так как оно давало бы форму Финасов, а не Финащенков.

Встречаемость фамилии довольно локальна. Основной ареал — Белгородская, Воронежская, Ростовская области, а также восток Украины (Харьковщина, Луганщина). Это совпадает с зоной распространения фамилий на -енков, которые в XIX веке массово фиксировались у однодворцев и государственных крестьян южных губерний. Если ваши предки носили эту фамилию, они, вероятно, были выходцами из крестьянской или казачьей среды, а само прозвище Финащ звучало как домашнее, внутрисемейное обращение к человеку по имени Афиноген.