Фамилия Финаев напрямую связана с именем Финай — просторечной, народной формой крестильного имени Афиноген. В переводе с греческого оно означает «потомок Афины». Афина — богиня мудрости и войны, дочь Зевса и покровительница Афин. Её изображали с оливковой ветвью в руке, а иногда в виде совы. Потомок человека по имени Финай со временем и получил фамилию Финаев.

Обратим внимание на словообразовательную модель. Суффикс -ев указывает на принадлежность: Финаев буквально значит «сын Финая». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от имён, оканчивающихся на -ай: Финай, Никола́й (отсюда Николаев), Андрей (Андреев). Форма Финай возникла в живой речи как сокращение длинного и неудобного для повседневного обихода Афиногена. Подобные усечения встречались сплошь и рядом: Афиноген превращался в Фину, Финая, Гену.

Интересно, что имя Афиноген в России никогда не было частым. Оно встречалось в основном в среде духовенства и старообрядцев, которые тяготели к редким, книжным именам. Поэтому фамилия Финаев, хоть и звучит по-русски, несёт в себе след византийской книжной традиции. Если ваш предок носил имя Финай, он, скорее всего, был человеком церковного круга или происходил из семьи, где чтили старые календарные имена.

Стоит отметить, что в некоторых говорах «финаем» могли прозвать и человека с каким-либо заметным качеством, но эта версия менее правдоподобна. Основное, надёжное объяснение — именно имя Афиноген в его просторечной форме. Так что фамилия Финаев — это не прозвище по ремеслу или черте характера, а память о конкретном имени, которое когда-то дали при крещении.