Фамилия Флеонов — редкий случай, когда прозвище или имя, лёгшее в основу, почти полностью вытеснено в памяти, зато отлично видна «машина» словообразования. Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: «чей?» — «Флеонов», то есть сын или потомок человека по имени (или прозвищу) Флеон.

Самая прямая и очевидная версия — происхождение от канонического крестильного имени Флегонт. Это греческое имя (Φλέγων, Флегон) означает «горящий», «пылающий» и встречалось в святцах. В бытовой, простонародной речи имя Флегонт легко сокращалось и искажалось: Флегон → Флеон. Отсюда и пошла форма Флеонов — «сын Флеона», то есть Флегонтович. Такое стяжение (отпадение конечного -т) — обычное дело для русской антропонимии: Федот превращался в Федон, а Демент — в Демин.

Менее вероятно, но стоит упомянуть: в южнославянских языках (болгарском, сербском) есть слово «флеон» как вариант названия растения — того же, что и «флегон» (вид полыни или дягиля). Если предки носителя фамилии были выходцами с Балкан или из приграничных с ними областей, прозвище Флеон могло закрепиться за человеком, торговавшим травами, знахарем или просто жившим в местности, изобилующей этим растением. Однако для центральной России и севера такая версия слаба; там имя Флегонт встречалось гораздо чаще.

Географически фамилия Флеонов не привязана к одному региону — она рассеяна мелкими гнёздами. Встречается в Поволжье, в старых переписях Рязанской и Тамбовской губерний, а также на Урале. Носители её, судя по всему, были крестьянами или мещанами — фамилия не дворянская, не книжная, а вполне бытовая, «именная».

Таким образом, перед нами типичная русская фамилия-отчество, в основе которой лежит редкая разговорная форма церковного имени Флегонт. Если ваш предок носил имя Флеон или Флегонт, он был, скорее всего, человеком незнатным, но с «горячим» именем — в прямом смысле слова.