Фамилия Гадзалышын — редчайший случай в русском ономастиконе, и её разговор начинается не с корня, а с суффикса. Окончание «-ын» (а не «-ин») указывает на севернорусскую или белорусскую модель образования притяжательных фамилий. В таких фамилиях суффикс обычно присоединяли к основе, оканчивающейся на -а или -я, но здесь основа «Гадзалыш» — нестандартная, что сразу наводит на мысль об иноязычном происхождении.

Скорее всего, в основе лежит прозвище или имя Гадзалыш, которое могло возникнуть в тюркоязычной среде. В тюркских языках есть корень «гаджа» или «гадза» (например, в азербайджанском и турецком «hacı» — паломник, совершивший хадж; в диалектах может звучать как «гаджа»). Суффикс «-лы» в тюркских языках — показатель обладания («имеющий»), а «-ш» может быть уменьшительным или адаптационным окончанием при переходе в славянскую среду. Таким образом, Гадзалыш могло означать «тот, кто связан с паломником» или «принадлежащий к роду хаджи». Фамилия закрепилась в форме притяжательного прилагательного: «чей?» — Гадзалышын, то есть «потомок Гадзалыша».

Географически фамилия тяготеет к зонам контакта славянских и тюркских народов. Единичные носители встречаются в Астраханской области, на Северном Кавказе и в Поволжье — регионах, где веками смешивались русские, татары, ногайцы и кавказские народы. В центральных и северных областях России фамилия практически не фиксируется. В белорусском ономастиконе, где суффикс «-ын» распространён шире, фамилия могла бы возникнуть, но основа для неё там нетипична.

Сословная принадлежность предков неясна: фамилия не даёт подсказок ни на дворянство, ни на крестьянство. Скорее всего, носители были вольными переселенцами или казаками, которые перенимали прозвища от соседей-тюрков. Написание с «ы» после «ш» — орфографическая особенность, характерная для старых записей в метрических книгах, где «и» и «ы» могли путать, либо для южнорусских говоров, где «ы» произносится твёрже.

Коротко: фамилия Гадзалышын — гибрид тюркского прозвища и русского суффикса принадлежности, возникший на южных или восточных окраинах России. Точное значение исходного слова требует уточнения по местному диалекту, но связь с понятием «хаджи» (паломник) — наиболее рабочая версия.