Фамилия Гадзяцкий — один из тех случаев, когда корень слова не даёт однозначного толкования, зато суффикс и форма рассказывают о происхождении почти всё. Типичная фамилия-прилагательное с суффиксом -цк- (в варианте -яцк-, где произошло чередование) указывает на её польско-украинское или белорусское происхождение. Такие фамилии образовывали от названий населённых пунктов. Если человек — Гадзяцкий, то его предок, скорее всего, происходил из места, которое называлось Гадяч, Гадь, Гадзя или что-то похожее по звучанию.

Главный претендент на роль географической основы — город Гадяч (сейчас райцентр в Полтавской области Украины). Форма «Гадзяцкий» — это фонетический вариант от «Гадяцкий»: в украинском языке мягкое «д» перед «я» переходит в мягкое «дз» (явление дзеканья), отсюда и «Гадзя». По той же модели образованы фамилии вроде Запорожецкий, Хорольский. Владелец такой фамилии мог быть либо выходцем из Гадяча, либо его предок владел землями в тех краях, либо был приписан к гадячской церкви или общине.

Менее вероятная, но не исключённая версия — от прозвища «Гадзя» (уменьшительное от имени Гад, которое в старину встречалось как сокращение от Гавриил или Агафон). Но суффикс -цкий крепко привязывает фамилию к местности, а не к личному имени. Если бы основой было прозвище, мы бы скорее увидели форму Гадзев или Гадзин.

Важная деталь: фамилия Гадзяцкий — шляхетского типа. В Речи Посполитой суффикс -цкий был одним из маркеров дворянского происхождения, и многие носители таких фамилий действительно принадлежали к мелкой шляхте. В XIX веке, после разделов Польши, часть Гадзяцких оказалась в списках дворянства Волынской, Киевской и Подольской губерний. Встречается фамилия и в среде православного духовенства — священники часто получали фамилии по месту службы.

В современной России Гадзяцкие — редкость, фамилия дисперсно рассеяна, без выраженного регионального ядра. Это типичная ситуация для потомков польско-украинской шляхты, разъехавшейся по империи в XIX—XX веках. Если ваша фамилия именно Гадзяцкий, а не Гадяцкий, значит, в роду сохранилось живое произношение, характерное для украинских говоров.