Фамилия Гаевцов — одно из тех русских родовых имён, в которых отчётливо видна «лесенка» поколений. Это отчество третьей степени: Гаевцов буквально означает «внук Гая» или, точнее, «сын Гаевца, внук Гаева, правнук Гая». Такой способ образования (суффикс -ов, наращение -ец и ещё один -ов) встречается нечасто и сразу говорит о том, что фамилия складывалась постепенно, через несколько ступеней: сначала от личного имени или прозвища Гай образовалась фамилия Гаев (чей? — сын Гая), от неё — имя или прозвище Гаевец (потомок Гаева), и уже от него — окончательная форма Гаевцов.

Корень фамилии — слово «гай». В древнерусском и украинском языках так называли небольшой лиственный лес, рощу, особенно в балках и оврагах. Поэтому самая прозрачная версия происхождения — топографическая: прозвище Гай могли дать человеку, жившему у леса или в лесистой местности. Такие прозвища по месту жительства были широко распространены и не требовали дополнительных пояснений.

Однако есть и вторая, не менее вероятная возможность. Имя Гай могло быть не прозвищем, а народной формой крестильного имени Гаий (от греческого γάιος — «земной»). В святцах это имя встречается, хотя и редко, поэтому его могли давать при крещении, а в быту оно звучало как Гай. В таком случае фамилия Гаевцов восходит не к лесу, а к церковному календарю, и её первоначальный смысл — «потомок Гаия».

Обе версии имеют право на существование, и выбрать между ними без знания конкретной семейной истории сложно. Можно лишь сказать, что в южнорусских и украинских говорах, где слово «гай» было обиходным, топографическое объяснение выглядит чуть более естественным. В северных же областях, где «гай» как «лес» почти не употреблялся, скорее могло работать имя Гаий.

В любом случае, фамилия Гаевцов — редкий пример того, как отчество «выросло» на три поколения вглубь, сохранив в своей структуре цепочку предков: от Гая (или Гаия) к Гаеву, затем к Гаевцу и, наконец, к Гаевцову.