Фамилия Гаев (и её вариант Гаёв) чаще всего образована от мирского имени Гай. В древнерусском языке «гай» означало «роща», «дубрава», «лес». Человек, живший в лесистой местности или рядом с ней, мог получить прозвище Гай, которое затем закрепилось за его потомками как фамилия. Подобная модель образования фамилий от названий природных объектов — одна из самых распространённых в русской ономастике.

Однако у этого корня есть и другие версии. Имя Гай могло быть просторечной формой канонического мужского имени Гаий (от греческого «гайос» — «земной»). Тогда фамилия Гаев — это отчество: «чей сын?» — «Гаев», то есть сын Гая. Кроме того, в южных и западных регионах, где сильно украинское влияние, слово «гай» также означает «лес», поэтому фамилия могла возникнуть на украинской почве с тем же значением.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с редким еврейским мужским именем Гай, которое переводится как «ущелье». В этом случае фамилия образована по той же отческой модели.

Таким образом, у фамилии Гаев три основных пути происхождения: от прозвища по месту жительства (лес, роща), от христианского имени Гаий в его народной форме или от иноязычного имени Гай. Наиболее частотным и естественным для русской традиции остаётся первый вариант — связь с лесистой местностью.