Фамилия Гаева происходит от мужского прозвища Гай, а оно, в свою очередь, — от нарицательного слова «гай». В словаре Даля «гай» — это дубрава, роща или чернолесье, то есть лиственный лес. Скорее всего, Гаем называли человека, который жил рядом с лесом. Реже, но тоже вероятно, что это прозвище дали леснику — тогда оно указывает на род занятий предка.

В южных говорах у слова «гай» было и другое значение — «крик, шум». Поэтому есть версия, что прозвище мог получить беспокойный или крикливый ребенок. Еще одна гипотеза связывает фамилию с каноническим именем Гаий (от греческого «земной»). Гай в этом случае — народная, сокращенная форма имени, от которой и образовалась фамилия по той же модели: Гай → Гаев → Гаева.

По суффиксу видно, что фамилия образована от прозвища или имени, оканчивающегося на -й. Модель с суффиксом -ев типична для русских фамилий, возникших в центральных и южных регионах. В отличие, скажем, от северных фамилий на -ых/-их, здесь мы видим притяжательную форму: «чей?» — Гаев, то есть сын или потомок Гая. Женская форма Гаева — это просто грамматическое изменение по роду, без отдельного смысла.

Итак, у фамилии три равноправных пути происхождения: от места жительства (у леса), от профессии (лесник) или от личного имени Гаий. Выбрать что-то одно без точных записей о первых носителях невозможно, но все три версии укладываются в обычную логику русских прозвищ и фамилий.