Фамилия Гаевкая — яркий пример того, как одна буква может рассказать о географии и истории семьи. Правильное написание — через «а»: Гаевкая. Это женская форма фамилии Гаевский, и именно суффикс -ск- указывает на её польское или украинское происхождение. В Польше и на западе Украины такие фамилии образовывали от названий мест — сёл, усадеб или хуторов. Основа «Га-» восходит к слову «гай» — небольшой лиственный лес, роща. Человек по прозвищу Гай или живший в селе Гай становился Гаевским, а его жена или дочь — Гаевской (в русской традиции закрепилось написание «Гаевкая»).

Модель образования проста: топоним (название места) + суффикс принадлежности -ск- + окончание. В Речи Посполитой такие фамилии носили в основном шляхта и зажиточные крестьяне, имевшие право на землю. Однако на территории Российской империи, особенно в Малороссии и Новороссии, фамилия могла достаться и простым казакам или крестьянам, чьё село называлось Гай, Гаевка или Гаево. Сейчас написание через «а» (Гаевкая) — скорее исключение, чем правило. Орфографически верной считается форма Гаевская, но вариант с «а» устойчиво бытует в южных областях России и на Украине, где произношение смягчает звук.

Если ваши предки носили фамилию Гаевкая, ищите их корни в сёлах с названием Гай — таких сотни от Волыни до Кубани. При этом не путайте с фамилией Гаевой: та образована от прилагательного «гаевой» (лесной) и не имеет шляхетского оттенка. Гаевкая же — это «та, что из Гая» или «принадлежащая к Гаевским». В дореволюционных метриках вы с равной вероятностью встретите и Гаевскую, и Гаевкую — писарь часто записывал на слух.