Фамилия Гаевкий — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено. Вероятнее всего, перед нами вариант фамилии Гаевский, где буква «к» попала в конец по ошибке переписчика или при невнятном произношении. Если же написание «Гаевкий» закрепилось в семье, это может быть усечённой формой, возникшей в бытовой речи, но исходная модель — типичная польско-украинская фамилия на -ский.

Основа «Гаев» восходит к слову «гай» — небольшой лиственный лес, роща. В украинском, белорусском и южнорусском говорах это слово было распространённым топонимом: сёл и хуторов с названием Гай, Гаёвка, Гаево множество. Фамилия Гаевский (или Гаевкий) указывала либо на выходца из такого места («из Гая»), либо на владельца участка у гая. Суффикс -ский в польской традиции был дворянским маркером, но в украинской и русской среде его носили и крестьяне, и мещане — просто по месту жительства.

Интересно, что в польском языке есть и фамилия Gajewski, которая пишется через «е» (Гаевский), а не через «о». Это подтверждает, что корень «гай» здесь бесспорен. В русских переписях XIX века фамилию Гаевский фиксировали среди мещан и однодворцев южных губерний — Курской, Харьковской, Полтавской. Встречается она и сегодня, но нечасто: по данным современных телефонных справочников, носители сосредоточены в Центральной России и на Украине.

Вариант «Гаевкий» без суффикса -ск- выглядит аномально. Если это не опечатка в документе, то возможна версия, что фамилия образована от прозвища Гаёвка (человек, живущий у гая) с помощью патронимического суффикса -ий, что встречается в западнорусских говорах. Однако такая модель редка, и надёжнее считать, что исходная форма — Гаевский, а нынешнее написание — результат упрощения при записи.