Фамилия Гаевая — типично украинская по происхождению, и её основа напрямую связана со словом «гай». В украинском языке так называют небольшой лиственный лес, рощу. Поэтому первое, что приходит на ум: Гаевым (а для женщины — Гаевой) могли прозвать человека, который жил у леса или в лесистой местности. Такие прозвища по месту жительства — один из самых распространённых способов образования фамилий в славянском мире.

Однако корень «гай» многозначен, и это порождает несколько версий. В старину на Руси существовало нецерковное имя Гай, которое тоже связывают с украинским «гай», но уже в значении «шум, крик, гам». Если верить этой версии, имя давали беспокойному, крикливому ребёнку, а его дети уже становились Гаевыми. Сын того самого Гая — Гаев, а его жена, соответственно, Гаевая.

Есть и церковный след. Имя Гай могло быть просторечной формой канонического мужского имени Гаий (от греческого «ге» — земля, то есть «земной»). В этом случае фамилия образована от христианского имени, которое со временем обросло бытовым прозвищем.

Наконец, существует версия, отсылающая к редкому еврейскому мужскому имени Гай, которое переводится как «ущелье». Эта гипотеза менее вероятна для массового бытования фамилии на украинских землях, но полностью исключать её нельзя — фамилия могла возникнуть на стыке культур.

Важно, что фамилия Гаевая — это форма женского рода. В украинской и русской традиции такую фамилию носит женщина, а мужчина — Гаевой. В официальных документах прозвище или имя, лёгшее в основу, со временем полностью заменило наследственное имя, закрепившись как фамилия.