Фамилии Гаевы и Гаёвы — это варианты одного родового имени, различающиеся только ударением. В основе обеих лежит слово «гай», которое в древнерусском и украинском языках означало «лес», «дубрава», «роща». Прозвище Гай давали человеку, жившему у леса или в лесистой местности, либо тому, кто был родом из села с таким названием. От этого прозвища по обычной для русских фамилий модели (суффикс -ев, добавляемый к основе на -й) образовалось отчество: «чей сын? — Гаев». Со временем оно закрепилось как фамилия.

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с каноническим мужским именем Гаий (от греческого γάιος — «земной»). В народном обиходе это имя могло сократиться до формы Гай, и от неё уже возникла фамилия Гаев. Однако эта гипотеза слабее, потому что имя Гаий было редким на Руси, а слово «гай» — распространённым топонимом и нарицательным.

Обратите внимание на написание: ударение на первый слог (Га́ев) характерно для центральных и северных областей России, а на последний (Гаёв) — для южных, особенно для Украины и прилегающих регионов, где «гай» — обычное слово для леса. В старых документах и метрических книгах встречаются обе формы, иногда даже в одной семье.

О точном времени и месте возникновения фамилии говорить сложно — процесс формирования русских фамилий шёл несколько столетий, с XV по XVIII век. Но ясно, что Гаевы — это не случайное совпадение, а фамилия, прямо указывающая на место жительства предка: лес, роща, дубрава.