Фамилия Гафиз — редкий случай, когда фамилия почти целиком состоит из основы, без типичного русского суффикса. Она не имеет окончаний -ов, -ин или -ский, что сразу выдает её нерусское происхождение. В подавляющем большинстве случаев это фонетическая запись арабского имени Хафиз (حافظ) — «хранитель», «защитник», а в религиозном контексте «тот, кто знает Коран наизусть». В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, начальный «х» часто переходит в «г» или вовсе выпадает, так что Гафиз — это просто местный вариант произношения.

Основной вопрос — как такое имя стало фамилией. Скорее всего, это произошло не в русской канцелярской традиции (где к имени добавляли суффикс), а в среде татарского или башкирского мусульманского духовенства. В XIX веке, когда началась массовая фиксация фамилий, у мулл и их детей часто записывали не отчество, а почётное звание или прозвище отца. Если дед был хафизом (знатоком Корана), его внуки могли получить фамилию Гафизов, но в некоторых случаях, особенно при записи в метрических книгах мусульманских приходов, фамилию оставляли в чистом виде — Гафиз.

Географически фамилия Гафиз встречается почти исключительно среди татар, башкир и отчасти у крымских татар. В чисто русских регионах она практически отсутствует — это маркер исламского культурного круга Поволжья и Приуралья. Есть и вторая, более экзотическая версия: у народов Кавказа (например, у лезгин) Гафиз может быть формой имени Гафир или Гафур (прощающий), но это уже совсем редкие единичные случаи.

В дореволюционных списках эта фамилия почти не встречается — её носители были в основном крестьянами и мещанами из татарских слобод, и только в советское время, с паспортизацией, форма закрепилась. Интересно, что ударение в фамилии обычно падает на второй слог: ГафИз, хотя в исходном арабском имени ударение на первый. Филологически это типичная «фамилия-имя» — случай, когда родовое имя совпало с личным, и никакой дополнительной морфологии не потребовалось.