Фамилия Гагулькин — одна из тех, что образована от прозвища, и её корень уходит в диалектную лексику. Основа здесь — «гагулька». В русских говорах, особенно южных и западных, так называли кукушку или горлицу. Слово звукоподражательное, от «га-га» или «гу-гу» — человек, услышавший лесную птицу, дал ей имя по голосу. Прозвище Гагулька могли дать либо человеку с тихим, воркующим голосом, либо, наоборот, тому, кто любил повторять одно и то же, «куковать» на одном месте. Вторая версия менее вероятна, но возможна: в некоторых говорах «гагулька» — это ещё и небольшая лепёшка или комок теста, так что прозвище могло закрепиться за пекарем или любителем мучного.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Гагулькин буквально значит «сын Гагульки». Это типичная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а, -я. Фамилия редкая, не встречается в списках массовых дворянских или купеческих родов. Скорее всего, её носили крестьяне или мещане, и возникла она на территории, где было распространено слово «гагулька» — возможно, в рязанских, тамбовских или курских землях. В письменных источниках фамилия почти не фиксируется, что подтверждает её позднее оформление и локальный характер.

Сравните с однокоренными Гагулин, Гагульский, Гагунов. Все они идут от одного звукового корня, но различаются суффиксами и ареалом. Гагулькин — самая «семейная» форма, где связь с конкретным предком-прозвищем наиболее прозрачна. Никаких версий о тюркском или финно-угорском происхождении здесь нет: основа чисто русская, народная, из живого языка. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был человеком, за которым закрепилось меткое уличное прозвище, возможно, связанное с птицей или с особенностью речи.