Фамилия Гапшенко звучит как типичная украинская фамилия, и это первое, что бросается в глаза. Суффикс -енко — один из самых распространённых в Украине формантов, образующих фамилии от личных имён, прозвищ или названий профессий. Он означает «сын» или «потомок»: Гапшенко — буквально «сын Гапши» или «маленький Гапша». Это фамилия патронимического типа, то есть указывающая на отца.

Куда сложнее с основой — Гапш-. Здесь нет единого мнения, и приходится выбирать из нескольких версий. Самая очевидная связь — с украинским диалектным словом «гапша». В некоторых говорах так называли человека с большим ртом, крикуна или того, кто громко, «гапкает». Слово звукоподражательное, родственное глаголу «гавкать» (лаять). Прозвище Гапша могли дать обладателю зычного голоса или сварливому человеку.

Вторая версия — усечённая форма крестильного имени. От Агапий (греч. agapē — любовь) или Агафон (agathos — добрый, хороший). В народной речи эти имена часто сокращали: Агап → Гап, Агафон → Гапоша. Отсюда и Гапша. Имя Агапий было нередким в православных святцах, но встречалось реже, чем, скажем, Иван или Пётр. Поэтому фамилия Гапшенко не массовая, а довольно редкая. Если верна эта версия, то предок носителя фамилии был крещён как Агапий или Агафон, а в быту звался Гапшей.

Третья, менее вероятная гипотеза — от тюркского корня. В тюркских языках есть слово «гап» (мешок, сосуд) или «гапчы» (мешочник). Но для украинской фамилии с суффиксом -енко такое объяснение выглядит натянутым. Скорее всего, корень исконно славянский или греческий, через имя.

Географически фамилия тяготеет к центральной и восточной Украине: Черкасская, Полтавская, Сумская области. Встречается и в южных регионах России, куда переселялись украинские крестьяне в XIX веке. Сословная принадлежность — почти наверняка казацкая или крестьянская. Патронимы на -енко в XVII–XVIII веках активно закреплялись именно в казацкой среде, а позже стали фамилиями для всех слоёв.

Сравните с однокоренными: Гапченко, Гапонов, Гапкин. Гапшенко отличается именно суффиксом -ш-, который мог появиться из-за диалектного произношения (Гапша вместо Гапа) или как уменьшительная форма. Такая деталь — редкий суффиксальный вариант — как раз и делает эту фамилию непохожей на более частые Гапченко или Гапоненко.