Фамилия Гапшин образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от личного имени или прозвища с помощью суффикса -ин, который указывает на принадлежность («чей?» — сын Гапши). Основа здесь — Гапша, краткая форма крестильного имени Агапий или Агафон. Оба имени греческого происхождения: Агапий (Ἀγάπιος) переводится как «любимый», а Агафон (Ἀγάθων) — «добрый», «благой». В народной речи такие имена нередко усекали: Агапий превращался в Гапу, Гапшу, Агафон — в Гапону, Гапшу. Так что Гапша — это уменьшительно-бытовой вариант, характерный для простонародной среды Древней Руси.

Менее вероятно, но не исключено, что в основе лежит прозвище Гапша — от диалектного глагола «гапать» (кричать, звать) или «гап» (звукоподражание резкому движению, хватанию). В некоторых говорах «гапа» означала ротозея или того, кто громко окликает. Однако связь с каноническим именем выглядит убедительнее: фамилии на -ин от сокращённых имён — типичное явление для русской ономастики, и Гапшин в этом ряду стоит рядом с Гапоновым, Агаповым, Гапиным.

Географически фамилия редкая. Основные следы — в Поволжье и на юге России, где исторически была высока плотность носителей имён Агапий и Агафон. Встречается и в Казахстане — это, скорее всего, результат переселений времён освоения целины или более поздних миграций. Сословно Гапшины, судя по типу фамилии, происходили из крестьян или мещан: суффикс -ин у дворянских родов встречается редко, а у простого люда — сплошь и рядом.

Примечательная деталь: написание фамилии устойчиво, без вариантов вроде Гапшын или Гапшинъ. Это говорит о том, что она закрепилась в письменных источниках относительно поздно, уже после унификации русской орфографии в XIX веке. Сравните с однокоренной фамилией Гапшов — та образована по другой модели (суффикс -ов) и могла возникнуть в более западных или украинских говорах, где «аканье» было слабее. Гапшин же — стопроцентно северорусский или среднерусский вариант, где редукция гласных давно стёрла разницу между Агапием и Гапием.