Фамилия Гаржайкин — редкий случай, когда при разборе сталкиваешься не с очевидным полным именем, а с усечённой формой. Основа здесь — не Гаржай, а сокращённый вариант крестильного имени. Скорее всего, в основе лежит имя Герасим (от греческого «герас» — старость, уважение) или, чуть реже, Ермолай. В народной речи эти имена нередко урезали до кратких форм вроде Гаря, Гарай, Гаряй. От такого прозвища или некалендарного имени Гаряй и появилась фамилия Гаржайкин.

Модель образования типична для русских фамилий XVI–XVII веков: суффикс -к- (Гаряй → Гаряйка) указывает на уменьшительно-ласкательную или обиходную форму, а затем патронимический суффикс -ин (чей? — Гаряйкин). Со временем «я» под ударением могло перейти в «а» — Гаржайкин, что закрепилось на письме. Вариант написания через «а» вместо «я» — не ошибка, а живое фонетическое изменение, характерное для южнорусских и среднерусских говоров (аканье).

Фамилия очень редкая. Сравнение с однокоренными фамилиями (Гаряев, Гарягин, Гараев) показывает, что все они восходят к тому же корню Гар- от Герасима или Ермолая. Встречается Гаржайкин преимущественно в центральных областях России, но точная география бытования узкая — это фамилия одной или нескольких семей, а не массовый родовой пласт. В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова прямого упоминания нет, что подтверждает её редкость.

Социально предки Гаржайкиных — скорее всего, крестьяне или посадские люди. Фамилии на -ин, образованные от обиходных форм, а не от полного церковного имени, обычно возникали в среде, где прозвище было важнее официального крестильного имени. Никакого ремесла или занятия в основе не лежит — только личное имя, перешедшее в прозвище.