Фамилия Гасилкина — женская форма фамилии Гасилкин, и чтобы понять её происхождение, нужно разобраться с мужским вариантом. Основа здесь неочевидная, и это как раз тот случай, когда на первый план выходит не география, а спорная этимология.

Самый прямой путь — от слова «гасилка». В русских говорах так называли приспособление для тушения огня, например, колпак на свечу или специальную лопатку в печи. Человек, который делал такие гасилки или, возможно, работал с огнём (скажем, ночной сторож, следивший за пожарами), мог получить прозвище Гасилка. От него и пошла фамилия Гасилкин по стандартной модели: прозвище на -а плюс притяжательный суффикс -ин, указывающий на принадлежность («сын Гасилки»). Эта версия выглядит надёжно, потому что в основе лежит реальный бытовой предмет и конкретное занятие.

Есть и вторая, более туманная версия. В некоторых диалектах «гасилкой» могли называть не только предмет, но и человека — в переносном смысле, того, кто «гасит» (например, ссоры, споры или, наоборот, настроение). Но это уже область прозвищ по характеру, и доказать такое сложнее. Третья гипотеза — связь с глаголом «гасить» в значении «тратить, проматывать» (ср. «гасить долги»), тогда прозвище могло закрепиться за мотом или транжирой. Однако эта версия менее распространена в ономастике, и первая — ремесленная — убедительнее.

Фамилия Гасилкин — довольно редкая. Встречается она преимущественно в центральных регионах России, особенно в Поволжье и некоторых областях Черноземья. В документах XVII–XVIII веков её почти нет, что говорит о позднем оформлении — скорее всего, в среде крестьян или мещан, где фамилии закрепились только после отмены крепостного права. Суффикс -ин типичен для русских фамилий, образованных от основ на -а/-я, и здесь он работает без исключений.

Если сравнивать с похожими фамилиями вроде Гасилов, Гасилин, то Гасилкин выделяется именно суффиксом -к-, который указывает на уменьшительную или прозвищную форму исходного слова. То есть предок был не просто Гасила, а скорее Гасилка — что-то вроде «маленький гасильщик» или «парень по прозвищу Гасилка». Такая форма часто бытовала в среде, где прозвища давали по одному заметному признаку или занятию, и она закреплялась в семье как фамильное имя.