Фамилия Гауче — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не связано с исконно славянскими корнями. Чтобы понять, откуда она, нужно сразу отбросить привычную модель «основа + суффикс -ов/-ев»: в фамилии нет типичного русского патронимического суффикса. Окончание -е указывает на то, что перед нами, скорее всего, фамилия, зафиксированная в форме именительного падежа без изменений, что характерно для фамилий западноевропейского или, реже, балтийского происхождения.

Самая вероятная версия — немецкое или голландское происхождение. Основа «Gauche» во французском языке означает «левый» или «неловкий», но для русской фамилии такое значение маловероятно: французские фамилии в России редки и обычно принадлежали дворянам-гугенотам или эмигрантам, а Гауче не похожа на аристократическую. Гораздо правдоподобнее, что фамилия восходит к немецкому слову «Gauch» (в диалектах — «кукушка» или, в переносном смысле, «простак», «чудак»). В немецких землях фамилия Gauche встречается как вариант написания Gaucke или Gauch, и могла быть прозвищем человека со странным поведением или же того, кто держал кукушек (например, птицелов). Вторая версия — топонимическая: от названия местности Gauch или Gauche в Германии или Швейцарии, откуда предок мог переселиться в Россию.

В контексте русской истории фамилия Гауче могла появиться в XVIII–XIX веках вместе с приглашёнными немецкими колонистами, ремесленниками или офицерами. Немцы-лютеране, селившиеся в Поволжье, Причерноморье или Петербургской губернии, нередко получали фамилии в документах в том виде, в каком их записывали чиновники, без русификации. Обратите внимание на написание: в русской передаче «Гауче» сохраняет мягкое окончание, что характерно для южнонемецких диалектов, где -е произносится отчётливо, а не редуцируется. Если бы фамилия была польской или белорусской, она, скорее всего, приняла бы форму «Гауч» или «Гауцкий», но этого не произошло.

Словообразовательно фамилия проста: корень Гауч- плюс окончание -е, которое в русском языке осознаётся как флексия, но в исходном языке могло быть частью основы (например, Gauche — это уже готовая фамилия в немецком написании). Никаких суффиксов нет, что делает её «прозрачной» для этимолога: это чистая основа без патронимической пристройки. Среди однокоренных русских фамилий — разве что редкая Гаух, но Гауче стоит особняком. Если у вас есть семейное предание о немецких корнях, эта версия — самая крепкая. Если же фамилия встречается у белорусов или украинцев, стоит проверить, не искажён ли вариант от Гауч (от диалектного «гауч» — «болтун», «крикун»), но это уже менее надёжная гипотеза.