Фамилия Гаваши — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не славянское. Чтобы понять её корни, нужно отбросить привычные модели с суффиксами -ов или -ин и посмотреть в сторону южных и западных языков.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с венгерским языком. В Венгрии существует фамилия Gavasi (Гаваши), которая образована от названия населённого пункта Гава (Gáva) — села или местности. Суффикс -i в венгерских фамилиях указывает на происхождение оттуда: «Гаваши» буквально значит «тот, кто из Гавы». Такие фамилии-топонимики массово появлялись в Венгрии в XIX веке, когда крестьянам предписывалось взять постоянные родовые имена. Если предки носителя фамилии были венграми или жили в Венгрии, то Гаваши — это указание на их малую родину.

Вторая, менее распространённая, но тоже возможная версия — итальянское происхождение. В Италии есть фамилия Gavasi (Гавази), которая может восходить к диалектному слову gavazza (гулянка, пир) или к личному прозвищу. Однако написание с «ш» вместо «з» (Гаваши вместо Гавази) часто возникает при русификации итальянских фамилий через посредство польского или украинского языка, где «si» читается как «ши».

В русском контексте фамилия Гаваши — почти наверняка пришлая. Она могла попасть в Россию через миграцию венгров (например, военнопленных после подавления восстания 1848–1849 годов или через Австро-Венгрию в конце XIX — начале XX века). Также её могли принести еврейские семьи из Закарпатья или Трансильвании, где венгерские фамилии были широко распространены среди еврейского населения. В таком случае Гаваши — не русская по образованию, а адаптированная к русской графике фамилия с чёткой географической привязкой к конкретному месту в Венгрии.

Однокоренных русских фамилий у Гаваши нет. Если искать аналоги по звучанию, можно вспомнить фамилию Гава (встречается у украинцев и поляков), но это отдельная история. Суффикс -ши в русской среде не встречается — он выдаёт иноязычное происхождение.

Таким образом, если вы носите фамилию Гаваши, ваши предки, скорее всего, происходят из Венгрии или из регионов, где венгерский язык был распространён (Закарпатье, Словакия, Трансильвания), а сама фамилия — это прозвище по месту жительства, а не по профессии или внешности.